Probabilidad: sucesos indistinguibles

Coautores: R. D. Lázaro y S. Villarroya

Tenemos 6 dados, los metemos en un cubilete y los lanzamos…..

  1. ¿Cual es la probabilidad de que salga un 6 en uno (y solo en uno) de los dados?

  2. ¿Y de que salgan DOS seises??

  3. ¿Cual es la probabilidad de que salga AL MENOS un 6??

  4. ¿Y de que salga 6 en TODOS??

Solución incorrecta:

La probabilidad de que salga un 6 (u otro número cualquiera) en UN dado es 1/6 La probabilidad de que salga un número cualquiera que no sea el considerado es 5/6

La probabilidad de que suceda un evento (salga un número en un dado) Y otro (un número en otro dado) es el PRODUCTO de las dos probabilidades.

La probabilidad de que suceda un evento (salga un número en un dado) U otro (un número en otro dado) es la SUMA de las dos probabilidades.

Según esto, podría pensarse que las soluciones son estas:

a)  (1/6)*(5/6)^5
b)  (1/6)^2*(5/6)^4
c)  [(1/6)*(5/6)^5]+[(1/6)^2*(5/6)^4]+[(1/6)^3*(5/6)^3]+
+[(1/6)^4 *(5/6)^2]+[(1/6)^5*(5/6)]+(1/6)^6
d)  (1/6)^6

Sin embargo, sólo la solución d) es correcta. Las soluciones a), b) y c) son incorrectas porque consideran los dados como DISTINGUIBLES: es decir, para a) los cálculos son la probabilidad de que UN dado DETERMINADO salga 6 y en los otros no. Para b) la cuenta dada es la probabilidad de que en DOS dados DETERMINADOS salgan 6….

Solución correcta para a) y b):

Como los dados son INDISTINGUIBLES, hay que multiplicar los resultados anteriores por un factor que viene dado por el número de combinaciones sin repetición que se pueden formar con 6 dados de forma que uno (para el caso a) ) CUALQUIERA cumpla la condición y para que dos (para el caso b) ) CUALESQUIERA cumpla la condición.

La forma de calcular el número de combinaciones sin repetición n elementos tomados de p en p se expresa como “n sobre p”, y se representa:

 / n \
|     |
 \ p /

y se calcula:

 / n \       n!
|     | = ---------
 \ p /   (n-p)!*p!

En el caso a) n=6 y p=1, con lo que el número de combinaciones sin repetición es:

 / 6 \       6!         6!      6!
|     | = --------- = ------- = ---- = 6
 \ 1 /   (6-1)!*1!    5!*1!     5!

En el caso b) n=6 y p=2, con lo que el número de combinaciones sin repetición es:

 / 6 \       6!         6!       6!      6*5      30
|     | = --------- = ------- = ------ = ------ = ---- = 15
 \ 2 /   (6-2)!*2!    4!*2!     4!*2      2       2

Con lo que las soluciones correctas para a) y b) son:

a)  (1/6)*(5/6)^5*6
b)  (1/6)^2*(5/6)^4*15

Solución correcta para c):

Puede aplicarse el razonamiento anterior (el de los apartados a) y b) ) también para el c). Para ello, habría que multiplicar CADA SUMANDO por el número de combinaciones sin repetición asociado. Así, el primer sumando se multiplicaría por “6 sobre 1”, el segundo por “6 sobre 2”, el tercero por “6 sobre 3”, el cuarto por “6 sobre 4”, el quinto por “6 sobre 5” y el sexto por “6 sobre 6” (que es 1, ya que por definición 0!=1)

Hay, sin embargo, otra forma de hacerlo que requiere menos cálculo: la probabilidad de que NO salga NINGÚN 6 es (5/6)^6, así que la probabilidad de que salga al menos UN 6 es:

1-(5/6)^6

Resultados numéricos:

a) 0.40187757201646102
b) 0.20093878600823045
c) 0.66510202331961588
d) 2.1433470507544573e-05

Comentarios:

Este problema ilustra los concepto básicos de probabilidad, así como las implicaciones en el cálculo que conlleva el hecho de que los elementos considerados (dados, en este caso) sean indistinguibles, y que nos lleva a usar combinatoria.

Extensión:

  • Inventar ejercicio en el que el factor combinatorio no venga dado por “combinaciones sin repetición”; por ejemplo, las probabilidades de que alguien gane el primer, segundo y tercer puesto en un sorteo, de tal forma que una misma persona pueda acumular varios premios de diferente categoría.

  • Implicaciones en el concepto de bosones y fermiones en el contexto de la física cuántica.